4.1 Signaltheorie Einführung
4.1.1 Einleitung
Die moderne Technik wäre ohne die Verarbeitung von Signalen kaum denkbar.
Ob beim Telefonieren, Musikhören, Messen von Temperatur oder Steuern eines Roboters – überall werden Informationen in Form von Signalen übertragen, verarbeitet und ausgewertet.
Die Signaltheorie beschäftigt sich mit den Eigenschaften solcher Signale und den Systemen, die diese Signale verarbeiten.
Sie bildet die Grundlage für viele Gebiete der Elektrotechnik und Informatik, wie z. B.:
- Nachrichtentechnik (Mobilfunk, WLAN, Bluetooth)
- Audio- und Videotechnik (Mikrofone, Lautsprecher, Bildschirme)
- Messtechnik und Sensorik (Temperaturfühler, Beschleunigungssensoren)
- Regelungstechnik (Motorsteuerungen, Robotik)
Ziel dieses Kapitels ist es, die grundlegenden Begriffe und Klassifikationen von Signalen kennenzulernen.
Darauf aufbauend werden wir im weiteren Verlauf die mathematischen Werkzeuge entwickeln, um Signale beschreiben, analysieren und gezielt verändern zu können.
Im DIC-Unterricht werden wir uns dabei primär mit diskreten Signalen beschäftigen, da diese in der digitalen Signalverarbeitung und in modernen eingebetteten Systemen eine zentrale Rolle spielen.
Die Konzepte für kontinuierliche Signale lernen wir zunächst kennen, setzen den Schwerpunkt aber auf die diskrete Verarbeitung mit z.B. Mikrocontrollern.
4.1.2 Grundbegriffe der Signaltheorie
Signal
Ein Signal ist eine zeitabhängige Größe, die Informationen überträgt oder darstellt.
Beispiele sind: elektrische Spannungen, Ströme, Schallwellen, Lichtintensitäten, Temperaturverläufe, ...
System
Ein System verarbeitet ein Eingangssignal \( x[n] \) und erzeugt daraus ein Ausgangssignal \( y[n] \).
Dies lässt sich mathematisch als Abbildung beschreiben:
\( y[n] = T\{x[n]\} \)
Dabei steht \( T\{\cdot\} \) für das System bzw. die Systemfunktion.
Beispiele sind: Filter, Verstärker, Modulatoren, Sensoren, Aktoren, ...
Lineares System
Ein System ist linear, wenn es die Überlagerungseigenschaft erfüllt. Die Überlagerungseigenschaft besagt, dass die Antwort eines Systems auf eine Linearkombination von Eingangssignalen gleich der Linearkombination der Antworten auf die einzelnen Eingangssignale ist.
Beispiel: ein Widerstand, da das Ohmsche Gesetz die Überlagerungseigenschaft erfüllt.
Zeitinvariantes System
Ein System ist zeitinvariant, wenn sich das Verhalten des Systems nicht mit der Zeit ändert.
Beispiel: ein idealer Kondensator, da seine Kapazität konstant bleibt und sich nicht mit der Zeit ändert.
Kausalität
Ein System ist kausal, wenn der Ausgangswert zu einem Zeitpunkt nur von den Eingangsgrößen zu diesem und früheren Zeitpunkten abhängt.
Beispiel: ein Tiefpassfilter, da der Ausgang zu einem bestimmten Zeitpunkt nur von den aktuellen und vergangenen Eingangswerten abhängt.
Stabilität
Ein System ist stabil, wenn ein begrenztes Eingangssignal zu einem begrenzten Ausgangssignal führt.
Beispiel: ein RC-Tiefpassfilter, da ein begrenztes Eingangssignal (z.B. eine Sinuswelle) zu einem begrenzten Ausgangssignal führt.
Invertierbarkeit
Ein System ist invertierbar, wenn es eine Umkehrfunktion gibt, die das Ausgangssignal wieder in das ursprüngliche Eingangssignal zurückverwandelt.
Beispiel: ein idealer Verstärker, da das Ausgangssignal durch Division mit dem Verstärkungsfaktor wieder in das ursprüngliche Eingangssignal zurückverwandelt werden kann.
4.1.3 Signalarten und Unterscheidungskriterien
Unterscheidungskriterien:
- Zeitkontinuierlich / Zeitdiskret
- Periodisch / Aperiodisch
- Deterministisch / Stochastisch
- (Energie / Leistung)
| Signalart | Beschreibung | Beispiele |
|---|---|---|
| Deterministisch | Werte sind zu jedem Zeitpunkt exakt vorhersagbar |
Sinuswelle, Rechtecksignal, Dreiecksignal |
| Stochastisch | Werte variieren zufällig, nicht exakt vorhersagbar |
Rauschsignal, Zufallssignal |
| Periodisch | Signal wiederholt sich in regelmäßigen Abständen |
Sinuswelle, Rechtecksignal, Dreiecksignal |
| Aperiodisch | Keine regelmäßige Struktur, keine Wiederholung |
Impuls, Rauschsignal, transienter Verlauf |