4.2 Diskrete Signale und Grundoperationen
4.2.1 Diskrete Signale
Ab hier beschäftigen wir uns ausschließlich mit diskreten Signalen, also Signalen, die nur zu bestimmten Zeitpunkten definiert sind.
Die Abtastung (Sampling) und Quantisierung werden später behandelt – vorerst nehmen wir an, dass die Werte von \( x[n] \) beliebige reelle Zahlen sein können.
Ein diskretes Signal wird üblicherweise als Folge \( x[n] \) bezeichnet, wobei \( n \in \mathbb{Z} \) (ganzzahliger Index).
Beispiel:
\( x[n] = \sin\left( \frac{\pi}{8} n \right) \)
4.2.2 Anwendungsfälle diskreter Signale
- Audiosignalbearbeitung (z. B. Echo, Filter, Equalizer)
- Bildverarbeitung (Pixelwerte als 2D-diskretes Signal)
- Messdatenerfassung (Temperaturaufzeichnung jede Sekunde)
- Kommunikationstechnik (digital modulierte Signale)
4.2.3 Operationen mit diskreten Signalen
Mit diskreten Signalen können verschiedene Grundoperationen durchgeführt werden:
-
Addition / Subtraktion
\(y[n] = x_1[n] + x_2[n] \)
Beispiel: Überlagerung zweier Sinustöne → Schwebung.
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Skalierung (Multiplikation mit einer Konstante)
\(y[n] = a \cdot x[n] \)
Beispiel: Lautstärkeregelung.
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Multiplikation (punktweise)
\(y[n] = x_1[n] \cdot x_2[n] \)
Beispiel: Amplitudenmodulation.
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Verschiebung (Shifting)
\( y[n] = x[n - k] \)
Beispiel: Zeitverzögerung (Echo).
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Spiegelung (Reversal)
\( y[n] = x[-n] \)
Beispiel: Signal rückwärts abspielen.
-
Ausblick: Faltung
Kombination aus Spiegelung und Verschiebung. Wird später für die Beschreibung von Systemen (z. B. Filter) benötigt.
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Überlagerung (Superposition)
Mehrere Signale können miteinander kombiniert werden, indem man sie skaliert und addiert, z. B. nach dem Schema
\( y[n] = a \cdot x_1[n] + b \cdot x_2[n] \).
Beispiel: Zwei unterschiedliche Audiosignale mit verschiedener Lautstärke werden gemischt.
Diese Eigenschaft ist besonders wichtig für lineare Systeme, da sie dort immer erfüllt sein muss (→ Superpositionsprinzip).
4.2.4 MATLAB-Demo - Grundoperationen
In dieser Demo werden die Grundoperationen Addition, Skalierung, Multiplikation und Verschiebung an einem diskreten Signal gezeigt.
4.2.5 MATLAB-Demo - Amplitudenmodulation (Multiplikation)
Bei der Amplitudenmodulation (AM) wird ein hochfrequenter Träger mit einem niederfrequenten Nachrichtensignal multipliziert.
Die mathematische Beschreibung lautet:
Dabei sind:
- \(c[n]\): hochfrequenter Träger (Carrier)
- \(m[n]\): Nachrichtensignal (Message)
Das „+1“ sorgt dafür, dass der Träger immer vorhanden bleibt.
Ohne diesen Term wäre das Signal zeitweise null (unterdrückter Träger), und die Hüllkurve würde nicht mehr direkt dem Nachrichtensignal entsprechen.
Die entstehende schnelle Schwingung hat eine Hüllkurve, die genau die Form des Nachrichtensignals trägt.
Ein einfacher Diodendetektor „folgt“ dieser oberen Hüllkurve, ignoriert die negative Auslenkung und gewinnt mit einer Glättungsschaltung das ursprüngliche Nachrichtensignal zurück.